Lenten Journey Middle Point Check-Up on Cycle A

40 years of wondering in wilderness between the land of bitter suffering in Egypt and the promised  land in Canaan characterize Exodus.  This long challenging journey was, in a way, a spiritual refinement, as it was to show the survival of only the spiritually fittest.  Those who were not had perished. 

As Lent  is a spiritual journey from a sinful life to turn to the providence of God, just as a wondering lost sheep is returning to his or her original herd, from which he or she went astray, by a sinful temptation.  We spend 40 days and 6 Sundays, including Palm Sunday, to return to God, for our Lenten journey. 

40 days of Lent and 40 years of Exodus – they certainly make a meaningful juxtaposition for our Lenten journey to be more meaningful.  Perhaps, reflecting the First Reading of the 3^rd Sunday of Lent on Cycle A (Exodus 17:3-7) upon the Gospel Reading of the Sunday (John 4:5-42) helps us to connect Exodus with our Lenten journey.  Through this parallel reflection, we can draw thirst as a common theme that is drawn from Exodus experience and our Lenten experience.  Then, we can see the Israelites, who grumbled and complained to Moses about thirst on Exodus 17 in the First Reading and the Samaritan woman, who came to the Jacob’s Well to draw water around the noon time in John 4 represent us as sinners, who needs to hear God’s voice and return to God by way of His immeasurable mercy. 

The thirst that the Israelites grumbled and complained from an early phase of Exodus, shortly after successfully crossing the Red Sea and saved from the danger of the Pharaoh’s army, is associated with their lack of appreciation for God’s providence.  The Israelites must have taken God’s care for granted, though Moses and Miriam praised God’s marvelous saving work for the Israelites, upon crossing the Red Sea.  This is a lesson we can reflect upon ourselves, as we tend to take things for granted and complain for a lack of things. Our lack of gratitude not only results in complaining of our thirst but makes us more vulnerable to sinful temptations, which often lead us into a vicious cycle of addiction.

The thirst of the Samaritan woman, on the other hand, as not just for the water drawn from the Jacob’s Well but much deeper spiritual thirst – thirst for true love.  She had been so thirsty for true love.  That is why she kept chasing men after men but never able to have a lasting committed relationship, called matrimony.  She had been, indeed, in a vicious cycle of bad relationships. As a result of this, she had been also living in shame and guilt, as she avoided to come to the Well, early in the morning, when people usually come to draw and socialize.  The fact that she came to the well around the noon time, when she knew nobody would be around, shows that she had been suffering from loneliness, which St. Teresa of Calcutta (Mother Teresa) sees as the most terrible poverty and spiritual suffering.  As St. Teresa of Calcutta has said, the only way to be healed from this is love, in fact, the love that Christ teaches and embodies.  In John 4, this love is the Living Water that Jesus offered to the Samaritan Woman. 

If we are like the Israelites in Exodus 17: 3-7, we may seek something like alcohol to quench our thirst, only to be thirsty again to a greater extent, to drink more. This way, we can let our life sink into a vicious cycle of addiction.  On the other hand, if we are like the Samaritan Woman in John 4: 5-42, we recognize our spiritual thirst for Christ’s love, which is the Living Water, so that we can be truly quenched and live a Holy-Spirit-filled joyful life. 

The 3^rd Sunday of Lent is the middle point on our Lenten journey – on our Lenten “Exodus”.  It is a good time to check our journey has been.  Have we been like the grumbling Israelites in Exodus 17 or been like the Samaritan Woman in John 4, receiving the Loving Water to be quenched spiritually – being healed from loneliness by Christ’s love? 

We shall become more grateful of Christ’s love – God’s mercy, not grumbling, as we further advance on our Lenten journey.  We we move on this journey, we grow in faith to willingly cite "suscipe" prayer of St. Ignatius of Loyola.

Take, Lord, and receive all my liberty,
my memory, my understanding,
and my entire will,
All I have and call my own.

You have given all to me.
To you, Lord, I return it.

Everything is yours; do with it what you will.
Give me only your love and your grace,
that is enough for me.

All we need on our journey is grace of God, as its best form is His love. It is wise to travel light to be drawn more closer to God during Lent. Prayer, fasting, and almsgiving are to aid us to say that God's grace is enough.

有限の中の無限：円周率、数学教育、スピリチュアルな喜び

昨日、3月１４日は国際的なパイ、つまり、円周率、の日でした。そこで私は自分のフェイスブックで関孝和の円周率に関する貢献について紹介しました。その時、思ったのは、円周率というのは、とどのつまりは、人間にとって、近似によってしか把握できないもので、それは関孝和が図で示したように、円という有限の世界の中で近似という概念でしか見出せない無限の世界を垣間見るような好奇心的な喜びではないかと言うことです。そして、こうしたことが、宗教、信仰心をもつことにあるスピリチュアルな喜びにもつながるのではないかと思います。

関 孝和がやってたように、円周率を考える上で、円に内接する多角形の角の数を増やし続けることでその多角形ができるだけそれを囲む円に近つくことは数式を敬 遠しがちな自称数学嫌いの人でも視覚化できますよね。数学っていうのはごちゃごちゃ数式暗記することに労力を費やすのではなくこうした視覚化能力をまず幼 稚園の頃から鍛えることが大切なんですが。。こんなことを幼稚園の図画工作の時間に紙と鋏を使って楽しく遊びながら、小学校へあがるまでに数学的センスを 涵養できるんですよ。しかも、この教育法は，Piagetの認知能力発達理論にも沿ったものです。まあ、兎に角、小学校を卒業できる能力をもっている人であればだれでもこのことは理解できます。

さて、じつはこうした視覚的想像が高校で習う無限と連続という微積分のイントロだと気がつく人は意外と少ないものです。そして、このような教え方で数学を教えて飯食ってる教師も案外多くないのが残念ですね。大抵、多くの数学教師は受験テクニック的なことを教えるのに明け暮れてますから。だから、いい数学教育というのはこうして幼稚園の子供でもわかるような視覚的な概念をできるだけ駆使してやるのが一番です。でも、視覚障害のある学生への数学教育となるとそうは問屋がおろさないので、相当な工夫とparadigm shiftが要求されます。視覚障害と言っても、先天性の場合と後天性の場合があり、後者のケースではある程度の視覚経験があるのでそれを基に想像力を引き伸ばして教える事ができます。しかし、前者の場合、生まれ付き目が見えないのでこうした教え方は、ある意味では不可能に近いものかもしれません。こうしたことは、この場では説明できないので、失明の病理に詳しい、私の高校時代の同級生でもある眼科医の清水朋美先生などの考えを取り入れながら取り組んでいきたいと思います。

兎に角、Piagetの理論にもあるように、人間の認知的知能というのはいきなり抽象的な議論ができるようになるものではありません。どんないい車でも、いきなり一速ギアから五速ギアへぶっ飛ばせるのは無いですよね。人間の脳の発達もこれと同じようなもんなんです。だから、Piagetも論ずるように、先ずは、五覚による体験を幼い頃に充分しておき（だから、保育園や幼稚園でのお遊戯や図工は大事なんです！）、そして、その記憶を基に徐々に発展させていくものです。特に、理数教育というのは幼稚園から高校、そして、大学まで、このパラダイムによって行うものなのです。そうでないと、そのような抽象論というのは一種の幻想でしかないかもしれません。

話を戻しますと、円に内接する多角形の角の数を無限に増やしていくと、それはやがて外接する円となると仮定でき、それを”証明”したがるのが数学者です。まあ、大学で数学を専攻しなくても、高校の微積分で習う極限値の概念でもってこの数学的仮定の妥当性にうなずくことができるでしょう。

関孝和も実は、鎖国時代、Leibnitz 、Newton，Euler などの西洋の微積分を構築した西洋の数学に触れることなく、独自の円周率についての研究から極限についての概念、そして、それを土台とする微積分の考えへと発展させていたのです。まあ、もしかしたら、オランダ人が”密輸”って言うか、お土産としてもってきた西洋の数学書をひっそりと勉強してたかもしれませんが。。。

で、円に内接する多角形の角の数を無限に増やすとその極限は外接円に等しくなるという仮定は、実は、統計学の正規分布などの分布グラフの数学的理解においても同じことなのです。理系志望者は高校で既に統計学の基礎をマスターしてますが、そうでなくても大学で統計概論をとった人であればこのことは理解できます。でも、この極限的近似法が、幼稚園の図工の時間でもできるような円に内接する多角形の極限近似と本質的に同じものであることに気がついた人は何人いるでしょうか？

小学校の算数、多分、３、4年、でヒストグラムについて”棒グラフ”、という名前で習います。そう、算数で”グラフと表”という概念を確か既に2年生ぐらいから習い始めますよね。これも、数量をイメージできるようにする視覚化パラダイムの一つです。で、高校の確率統計のはじめに、かつて小学校の”グラフと表”の項目でならった棒グラフ、つまり、ヒストグラム、をまず再検証します。で、その中央値をmedian,　最頻値をmode、そして、平均値をmeanという横文字で習い、更に、これら3つのstatistical central tendency indexesが一致する場合において正規分布、normal distribution、となる、と習いました。で、大抵の高校や予備校の先生は、正規分布のカーブの中にヒストグラムを合わせて、このヒストグラムの無限極限近似が正規分布のカーブになると仮定できる、ということを教えてくれたはずです。そして、こうした理解を得て、大学に入学し、大学の統計学の講座で、正規分布の曲線グラフを確率密度関数という微積分レベルの数学で検証すると、関孝和が描いた円に内接する多角形の極限近似と微積分の関係と同じようにヒストグラムの極限近似も微積分的にすんなりと理解できるんです。

要は、世の中、白黒はっきりわかりにくい事がありますが、あまり神経質にならず、極限的近似ですべてを収めればいいんです。

近似のありがたさを極限までもっていける楽しさを数学教育で得た人は幸せですね。というのは、いつまでもいつまでも無限に続くと仮定できる円周率の数を追い掛け回して人生費やすよりも、無限の喜びを限られた時間に感じることを経験、例えば、彼女、嫁さん、（或いは、彼氏、旦那）が瞬くあの一瞬を盗み取るが如く、”ぶちゅっ！”とキスして、二人で無量の愛の喜びを分かち合うとか。。。

限られた時空間の中で何か無限、無量、なものを体験すること、これは、一瞬という刹那の時空で無限無量の愛の喜びを分かち合う男女の体験であれ、関孝和がやった円という限られた空間の中に多角形を内接させ、その角数を無限に増やすという円周率の研究であれ、本質的には同じことなんです。

一見有限な時空、たとえそれが儚きものであっても、その中に何か計り知れない無限なものを認識し、それを喜ぶことができる、というのは、円周率、微積分、そして、日本人の心を象徴すべきものともいえる”もののあはれ”の概念、にもつながるのではないでしょうか。更に、南無阿弥陀仏の念仏にある、阿弥陀という言葉が”amita”というサンスクリット語で意味する、無量性、を認識することで無限大の仏の慈悲と智慧に触れる喜び、また、キリストの教えにある人間の知恵を超越したところにあっても信仰という心の持ち方しだいで限られたこの世の人生において身近に体験できる神の王国といった宗教的、スピリチュアルな概念や体験にもつながるものではないでしょうか。と言うことは、円周率や正規分布を視覚化と微積分的な極限近似などを通して数学を学ぶ本質はスピリチュアルな体験の醍醐味へ連動するものだといえます。

私が教授として雇ってもらいたい”バカ田大学”では、このことを”これでいいのだ！”と結論する、というか、そう仮定し、そして、その正当性をその無限極限において”証明”できます。やっぱり、”これでいいのだ！”。だから、これ以上、あれこれと議論しても人生の無駄なのだ！だから、今日はここでお開きなのだ！